高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理（一）学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学学案VIP专享

1．1.1 正弦定理(一) [学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理1．正弦定理的表示文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径符号语言在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则＝＝＝2R2.正弦定理的常见变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，其中 R 为△ABC 外接圆的半径．(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R 为△ABC 外接圆的半径)．(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)＝＝＝.(5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.3．正弦定理的证明(1)在 Rt△ABC 中，设 C 为直角，如图，由三角函数的定义：sin A＝，sin B＝，∴c＝＝＝＝，∴＝＝． (2)在锐角三角形 ABC 中，设 AB 边上的高为 CD，如图，CD＝a sin __B＝b sin __A，∴＝，同理，作 AC 边上的高 BE，可得＝，∴＝＝.(3)在钝角三角形 ABC 中，C 为钝角，如图，过 B 作 BD⊥AC 于 D，则BD＝a sin ( π － C ) ＝a sin __C，BD＝c sin __A，故有 asin C＝c sin __A，∴＝，同理，＝，∴＝＝.思考 下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以③正确；由正弦定理可知④正确．故选B.知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：① 已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．题型一 对正弦定理的理解例 1 在△ABC 中，若角 A，B，C 对应的三边分别是 a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin CB...