1.1.1 正弦定理教学建议(1)让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察、推导、比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作.(2)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.(3)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学参考正弦定理的其他证明方法向量法如下图(1)所示,△ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于,则 j 与的夹角为 90°-∠BAC,j 与的夹角为 90°-C.由图(1)看到:.所以有 j·()=j·.由分配律可得 j·+j·=j·.故|j|||cos 90°+|j|||cos(90°-C)=|j|||cos(90°-∠BAC),故 asin C=csin∠BAC,故.同理,过点 C 作与垂直的单位向量,可得.故,即在△ABC 中,.当△ABC 为钝角三角形时,不妨设 A>90°(如图(2)所示),过点 A 作与垂直的单位向量 j,则 j 与的夹角为∠BAC-90°,j 与的夹角为 90°-C.同样可证得.这就是说,对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形来说,上面的关系式均成立.因此,我们得到下面的定理:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即面积法如图所示,以△ABC 的顶点 A 为原点,边 AC 所在射线为 x 轴的正半轴建立直角坐标系.我们知道,顶点 B 的坐标是(ccos∠BAC,csin∠BAC).容易知道,AC 边上的高 BE 就是 B 点的纵坐标csin∠BAC,于是△ABC 的面积S△ABC=·AC·BE=bcsin∠BAC.同样可得 S△ABC=casin∠ABC,S△ABC=absin C.由此,我们得到关于任意△ABC 面积的公式:S△ABC=bcsin A=casin B=absin C也就是说,三角形的面积等于任意两边的长与它们夹角的正弦的积的一半.将等式bcsin A=casin B=absin C 中被等号分开的式子都除以abc,可得,即.辅助圆法在 Rt△ABC 中,以 AB 为直径作 Rt△ABC 的外接圆圆 O,AB=2R,R 为外接圆的半径,C=90°,如图(1)所示.在 Rt△ABC 中,a=ABsin A=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C=2Rsin 90°.所以=2R.当△ABC 为锐角三角形时,如图(2)所示,其外接圆圆心 O 位于△ABC 的内部,连接 BO 并延长交圆 O 于 D,连接 CD,∠D=∠A,BD=2R.在 Rt△BCD 中,BC=a=2Rsin D=2Rsin A,同理 b=2Rsin B,c=2Rsin C.所以=2R.当△ABC 为钝角三角形时,如图(3)所示,其外接圆圆心 O 位于△ABC 的外部,连接 BO 并延长交圆 O 于 D,连接 CD,则 BD=2R,∠D=∠A,∠BCD=90°,所以 BC=BDsin A,即 a=2Rsin A.同理,b=2Rsin B,c=2Rsin C.所以=2R.
