2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法 [填一填][答一答]1．请写出分式不等式≥0，≤0 的同解不等式．提示：知识点二 \s\up17(用穿针引线法解简单的一元高次)[填一填](1)将 f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成 >0(或≥0 或<0 或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：>0⇔f(x)·g(x)>0，>0⇔或，≥0⇔⇔f(x)g(x)>0 或 f(x)＝0，≥0⇔或.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题 【例 1】 已知关于 x 的方程 8x2－(m－1)x＋m－7＝0 有两实根．(1)如果两实根都大于 1，求实数 m 的取值范围；(2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数 m 的取值范围；(3)如果一个根大于 2，另一个根小于 2，求实数 m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与 x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数 f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如右图．若两实根均大于 1，则即所以 m≥25.方法二：设方程的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝，x1x2＝，因为两根均大于 1，所以 x1－1>0，x2－1>0，故有即解得所以 m≥25.(2)设函数 f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7.若方程的两根 x1，x2∈(1,3)，则即所以 25≤m<34.(3)若一根大于 2，另一根小于 2，则 f(2)<0，即 27－m<0，解得 m>27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解．2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下：(1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间；(2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不...
