高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案VIP专享

第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理[目标] 1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．[重点] 应用正弦定理进行边角转化，解决三角形问题．[难点] 正弦定理的理解及推导．知识点一 正弦定理 [填一填] [答一答]1．在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？提示：这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径 2R，即＝＝＝2R，其中 R 是该三角形外接圆的半径．2．在△ABC 中，a＝4b，则＝4.解析：由正弦定理＝，得＝＝＝4.知识点二 解三角形 [填一填]1．一般地，把三角形的三个角 A ， B ， C 和它们的对边 a ， b ， c 叫做三角形的元素．2．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．[答一答]3．利用正弦定理能解什么条件下的三角形？提示：正弦定理的等式中有四个量，所以知其中三个，可求第四个．因此，知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形．4．在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3，B＝30°，判断三角形解的个数．提示：由正弦定理和已知条件，得 sinC＝＝，∴C＝60°或 C＝120°且均符合题意． ① 若 C＝60°，则 A＝90°，于是 a＝＝6.② 若 C＝120°，则 A＝30°，于是 a＝b＝3.∴C＝60°，A＝90°，a＝6 或 C＝120°，A＝30°，a＝3.∴三角形有两个解．知识点三 正弦定理的变形公式 [填一填]①a＝＝，b＝＝，c＝＝；②a＝2RsinA，b＝2 R sin B ，c＝2 R sin C ；③sinA＝，sinB＝，sinC＝；④abc＝sinAsinBsinC.其中，R 为△ABC 外接圆的半径．这些常见的公式的变形形式应熟练掌握，在解决具体问题时，根据不同的题设条件灵活选用不同的变形公式．[答一答]5．正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？提示：由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立．6．在△ABC 中，A>B 与 sinA>sinB 的关系怎样？提示：在△ABC 中，若 A>B，则 a>b.由正弦定理得 2RsinA>2RsinB，即 sinA>sinB.若 sinA>sinB，则 2RsinA>2RsinB(R 是△ABC 的外接圆半径)．由正弦定理得 a>b.综上所述，在△ABC 中，A>B 与 sinA>sinB 等价．类型一 已知两角和任意一边，解三角形[例 1] 在△ABC 中，已知 B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．[分析] 由三角...