1．1.2 余弦定理(一)[学习目标] 1.掌握余弦定理的内容与推论及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一 余弦定理及其证明1．余弦定理的表示及其推论文字语言三角形中任何一边的平 方 等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A，b2＝a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos __B，c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C推论cos A＝，cos B＝，cos C＝2.余弦定理的证明(1)课本上采用的证明方法：如图，设 a＝CB，b＝CA，c＝BA，则 c＝b － a ，∴|c|2＝c·c＝(b－a)2＝a 2 － 2 a · b ＋ b 2 ＝a 2 － 2 ab cos __C ＋ b 2 ，∴c2＝a2＋b2－2abcos C.(2)利用坐标法证明如图，建立平面直角坐标系，则A(0 ， 0) ，B( c cos __A ， c sin __A ) ，C( b ， 0 ) (写出三点的坐标)．∴a＝BC＝＝，∴a2＝b2＋c2－2bccos A.思考 1 在△ABC 中，若 a2＝b2＋bc＋c2，则 A＝________．答案 解析 由题意知，cos A＝＝－＝－，又 A∈(0，π)，∴A＝.思考 2 勾股定理和余弦定理的联系与区别？答案 二者都反映了三角形三边之间的平方关系，其中余弦定理反映了任一三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．知识点二 用余弦定理解三角形的问题利用余弦定理可以解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角解三角形；(2)已知三边解三角形．思考 已知三角形的两边及一边的对角解三角形，有几种方法？答案 不妨设已知 a，b，A，方法一 由正弦定理＝可求得 sin B，进而得 B，C，最后得边 c.方法二 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A 得边 c，而后由余弦或正弦定理求得 B，C.题型一 已知两边及其夹角解三角形例 1 在△ABC 中，已知 a＝2，b＝2，C＝15°，求角 A，B 和边 c 的值(cos 15°＝，sin 15°＝)．解 由余弦定理知 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2×＝8－4，∴c＝＝＝－.由正弦定理得 sin A＝＝＝＝， b>a，∴B>A，∴A＝30°，∴B＝180°－A－C＝135°，∴c＝－，A＝30°，B＝135°.反思与感悟 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．(2)用正弦定理求解时，需...
