1.1.2 余弦定理教学建议1.正、余弦定理的综合运用是高考命题的主要方向,从近几年的高考试题来看,往往是构造一个应用的背景,在此过程中通过正、余弦定理的运用达到“浅应用”的目的.高考对正、余弦定理的考查仍然是最基本的边角关系,但是却呈现出“出活题”,体现探究性,重视应用能力的特征.2.在教学中,应加强分类讨论和转化的数学思想的教学,这样有利于学生加深对余弦定理的理解和掌握.3.本节的重点是余弦定理及其应用,难点是正确选择正弦定理或余弦定理解三角形.根据解题经验,已知两边和其中一边的对角或已知两角及一边时,通常选择正弦定理来解三角形;已知两边及夹角或已知三边时,通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时,尽量用余弦定理来求,其原因是三角形中角的范围是(0,π),在此范围内同一个正弦值对应两个角:一个锐角和一个钝角,用正弦定理求出角的正弦值后,还需要分类讨论这两个角是否都满足题意.但是在(0,π)内一个余弦值仅对应一个角,用余弦定理求出的是角的余弦值,可以避免分类讨论.教学参考余弦定理的证明1.利用三角形法证明余弦定理我们知道在 Rt△ABC 中,当 C=90°,BC=a,AC=b,AB=c 时,容易由勾股定理得 c2=a2+b2.而当角 C 不是直角时,边 a,b,c 的关系又如何呢?它们与角 C 有什么样的量的关系呢?当角 C 是一个锐角时,如图,此时,由 c2联想到直角三角形,所以,可构造直角三角形求解,作 AC 边上的高 BD,在△BCD 中,BD=asin C,CD=acos C.在△BDA 中,AD=b-acos C,由 AB2=BD2+AD2,可得 c2=(asin C)2+(b-acos C)2,整理得 c2=a2+b2-2abcos C.当角 C 是钝角时,该结论是否也成立呢?如图,同理可构造 Rt△BDA 和 Rt△BDC.在 Rt△BDC 中,BD=asin∠BCD=asin(180°-∠BCA)=asin∠BCA,CD=acos∠BCD=acos(180°-∠BCA)=-acos∠BCA.因为 AD=b+CD=b-acos∠BCA,在 Rt△ABD 中,有 AB2=BD2+AD2,所以 c2=(asin∠BCA)2+(b-acos∠BCA)2.整理得 c2=a2+b2-2abcos∠BCA.所以对任意的△ABC,无论角 C 取什么值,上式都成立.同理有 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B.2.利用坐标法证明余弦定理利用直角坐标系解决几何问题是一种重要的数学方法(解析法).在△ABC 中,已知边 b,c,角 A,求边 a 可以转化为求 B,C 两点间的距离的问题,并且无论角 A 是锐角、直角、钝角,利用三角函数的坐标定义都可以写出点 A 的坐标,再用两点间的距离即可求出边 a.如图,以△ABC 的边 AB 为 x 轴,以 A 点为原点建立平面直角坐标系,由三角函数的定义可知C(bcos A,bsin A).又因为 B(c,0),BC=a,所以由两点间的距离公式可得 a2=(bcos A-c)2+ (bsin A-0)2.整理得 a2=b2+c2-2bccos A(A 可以是锐角、直角、钝角),同理可证 b2=c2+a2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
