高中数学 第一章 解三角形 1.2 余弦定理（二）学案 苏教版必修5-苏教版高一必修5数学学案

1.2 余弦定理（二）学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解决简单的实际问题.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形思考 在△ABC 中，若 B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出 sin C＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？ 梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为 0,1,2，具体判断方法如下： 设在△ABC 中，已知 a，b 及 A 的值．由正弦定理＝，可求得 sin B＝.(1)当 A 为钝角时，则 B 必为锐角，三角形的解唯一；(2)当 A 为直角且 a>b 时，三角形的解唯一；(3)当 A 为锐角时，如图，以点 C 为圆心，以 a 为半径作圆，三角形解的个数取决于 a 与 CD 和 b 的大小关系：① 当 ab，则有 A>B，所以 B 为锐角，此时 B 的值唯一．知识点二 判定三角形的形状思考 1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？ 思考 2 △ABC 中，sin 2A＝sin 2B，则 A，B 一定相等吗？ 梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边 (或角)．在转化条件时要注意等价．知识点三 证明三角形中的恒等式思考 前面我们用正弦定理化简过 acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？ 梳理 证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．类型一 用余弦定理解决实际问题例 1 一商船行至某海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军舰艇在 A 处获悉后，即测出该商船在北偏东 45°，距离 10 海里的 C 处，并沿方位角为 105°的方向，以 9 海里/时的速度航行，舰艇立即以 21 海里/时的速度前去营救．求舰艇靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程． 反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已...