3.1.3 两角和与差的正切课堂导学三点剖析一、两角和与差的正切公式的运用 两角和与差的正切公式可由同角三角函数关系式和正,余弦的和差公式导出.此外在公式 中 还 要 注 意 公 式 成 立 的 条 件 α≠kπ+,β≠kπ+,α+β≠kπ+,α-β≠+kπ(k∈Z),这是与两角和与差的正弦,余弦公式的不同之处.在运用公式时一定要注意这一点.【例 1】 求值(1)tan105°;(2).思路分析:(1)中 105°=60°+45°,故可用公式直接计算,(2)中的 1=tan45°,故可逆用公式.解：(1)原式=tan(60°+45°)=.(2)原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.温馨提示 解题时,首先要认真观察和分析题目的已知条件和结论中各角度之间的相互关系,并根据这种关系来选择公式.各个击破类题演练 1求值:.思路分析:公式逆用时要注意公式中 α,β 在分子和分母的位置;应先由诱导公式进行转化,再用公式.解:原式==tan(55°-25°)=tan30°=.变式提升 1求值:.思路分析:运用公式时,要注意观察 240°=180°+60°和 390°=360°+30°这两个角的拆分技巧.解:原式==tan［(60°+α)-(30°+α)］=tan30°=.二、给值求值问题 解决此类问题首先要根据已给角的范围确定所求角的范围,然后正确运用和与差的正切公式.有时当所给角的范围较大时,可借助于该角的正切值的符号,进一步缩小所求角的范围,使问题能得以圆满解决.【例 2】 已知 tanα=,tanβ=且 α,β 均为锐角,求 α+2β 的值.思路分析:因为 α+2β=(α+β)+β,也可以把 α+2β 看成 α 角和 2β 角的和.只需先求tan2β 即可.解： tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)===.又 α,β 均为锐角,∴α+β∈(0,π).而 tan(α+β)=>0,∴α+β∈(0,).∴α+2β=(α+β)+β∈(0,π).∴tan(α+2β)=tan［(α+β)+β］==1.∴α+2β=.类题演练 2若 tanα,tanβ 是方程 2x2+x-6=0 的两根,求 tan(α+β)的值.解: tanα,tanβ 是方程 2x2+x-6=0 的两根,∴tanα+tanβ=-,tanα·tanβ=-3.∴tan(α+β)==.变式提升 2已知<α<π,-<β<0,且 tanα=-,tanβ=,求 2α+β 的值.思路分析:将 2α+β 化为 α+(α+β)后,利用已知条件先求 tan(α+β)的值.解 tan(α+β)==-<0,且 α+β∈(0,π),∴α+β∈(,π).又 α∈(,π),∴2α+β∈(π,2π).又 tan(2α+β)=tan［α+(α+β)］==-1,∴2α+β=.三、公式的变式应用 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 tan(α±β)=可 以 改 写 为tanα±tanβ=tan(α±β)(1...
