第一章 解三角形一、本章知识网络二、题型探究题型一 利用正弦、余弦定理解三角形1．解三角形的四种类型已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由 A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出 b与 c，在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出一边所对的角；再由 A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角 A，B；再利用 A＋B＋C＝180°求出角 C，在有解时只有一解两边和其中一正弦定理、由正弦定理求出角 B；由 A＋B＋C＝180°求出角边的对角(如a，b，A)余弦定理C；再利用正弦定理或余弦定理求 c，可有两解、一解或无解2.三角形解的个数的判断已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”进行判断，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知 a，b，A，由正弦定理＝，得 sin B＝.若 sin B>1，无解；若 sin B＝1，一解；若 sin B<1，一解或两解．(2)利用余弦定理讨论：已知 a，b，A.由余弦定理 a2＝c2＋b2－2cbcos A，即 c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0，这是关于 c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．例 1 如图，在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，B＝45°，b＝，cos C＝.(1)求边长 a；(2)设 AB 中点为 D，求中线 CD 的长．解 (1)由 cos C＝，C∈(0°，90°)，得sin C＝＝ ＝，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，由正弦定理得 a＝＝＝3.(2)由余弦定理得c2＝(3)2＋()2－2×3××＝4，所以 c＝2，又因为 D 为 AB 的中点，所以 BD＝1.在△BCD 中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BC×cos B＝12＋(3)2－2×1×3×＝13，∴CD＝.跟踪训练 1 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 a，b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求 A 和 tan B 的值．解 由余弦定理 cos A＝＝>0，∴A∈(0°，90°)，∴A＝60°.在△ABC 中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知条件，应用正弦定理得＋＝＝＝＝＝＋，从而 tan B＝.题型二 判断三角形的形状1．利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法方法一...
