3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令 α=β，就可得出相应的倍角公式. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos2α=cos2α-sin2α.由于sin2α+cos2α=1 ， 显 然 ， 把 sin2α=1-cos2α 代 入 cos2α=cos2α -sin2α ， 得cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1.同理，消去 cos2α，得 cos2α=1-2sin2α.tan(α+β)=.综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角 α 的范围 由任意角的三角函数的定义可知 S2α、C2α中的角 α 是任意的，但公式 T2α即 tan2α=中的角是有条件限制的. 要使 tan2α 有意义，需满足 1-tan2α≠0 且 tanα 有意义.当 tanα 有意义时，α≠+kπ(k∈Z)；当 1-tan2α≠0，即 tanα≠±1 时，α≠±+kπ(k∈Z).综上,可知要使T2α有意义，需 α≠±+kπ 且 α≠+kπ(k∈Z).特别地，当 α=+kπ(k∈Z)时，虽然 tanα 的值不存在，但 tan2α 的值是存在的，这时求 tan2α 的值，可用诱导公式进行，即 tan2(+kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0.学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角 α 除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义.3.倍角公式中的倍角是相对的 二倍角公式不仅仅可用于将 2α 作为 α 的 2 倍的情况，对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 8α 是 4α 的二倍角，4α 是 2α 的二倍角，3α 是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例，-1=1-2sin2；sin3α·cos3α= (2sin3αcos3α)=sin6α；cos22α-sin22α=cos4α；；=tan70°等.4.倍角公式的几种变形形式(sinα±cosα)2=1±sin2α；1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α；cos2α=；sin2α=.学法一得 我们常把 1+cosα=2cos2，1-cosα=2sin2称为升幂换半角公式，利用该公式 消 去 常 数 项 ， 便 于 提 取 公 因 式 化 简 三 角 函 数 式 ； 把 cos2α=， sin2α=称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了 α 的三角函数与 2α 的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联...
