3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第 1 课时）课堂探究探究一 利用两角差的余弦公式求值解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．【典型例题 1】 求值：(1)；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)．思路分析：解答本题可利用诱导公式转化为两角差的余弦的形式求解．解：(1) ＝＝＝.(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝－cos 60°＝.点评 熟悉公式 C(α－β)的特点，即从函数名称、角、符号三个方面熟悉公式的特点，便于求值．另外，公式不仅要会正用，还要会逆用．探究二 已知三角函数式(值)求值解答已知 sin α(或 cos α)，cos β(或 sin β)，求 cos(α－β)的值的关键在于充分利用已知角的范围及三角函数值，求得需求的一些量的三角函数值；特别需要注意的是在已知某角的一个三角函数值，求角的另外一个三角函数值时有可能用到分类讨论的思想在解答时，应避免漏解．【典型例题 2】 已知 sin α＝，α 是第二象限角，cos β＝，β 是第四象限角，求 cos(α－β)的值．思路分析：分别求出 cos α，sin β 的值，利用 C(α－β)求得．解： sin α＝，α 是第二象限的角，∴cos α＝＝.又 cos β＝，β 是第四象限的角，∴sin β＝＝.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.探究三 应用角的变换求值1．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正弦函数值、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两个角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．【典型例题 3】 已知，且，求 cos α 的值．思路分析：先根据求出的值，再根据构造两角差的余弦，求出 cos α 的值．解： ，且，∴.∴.∴＝＝.方 法 技 巧 本 题 主 要 考 查 角 的 代 换 、 平 方 关 系 及 两 角 差 的 余 弦 公 式 ． 若 将展开，再利用平方关系结合范围可求 ...
