高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.2.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）学案（含解析）新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

第 2 课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 公式 T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式 T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为 tanα 与 tanβ 的和或差，分母为 1 与tanαtanβ 的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( )(2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )(3)tan(α＋β)＝等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．已知 tan α＝4，tan β＝3，则 tan(α＋β)＝( )A. B．－C. D．－解析：tan(α＋β)＝＝＝－.答案：B3．已知 tan α＝3，则 tan＝( )A．－2 B．2C. D．－解析：tan＝tan＝＝＝－.答案：D4．计算：tan 75°＝________.解析：tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.答案：2＋授课提示：对应学生用书 65 页类型一 正切公式的正用、逆用、变形用例 1 (1)已知 tan＝，则 tan α＝________；(2)tan＝________；(3)计算＝________.【解析】 (1)因为 tan＝tan＝，所以＝，解得 tan α＝.(2)tan＝－tan ＝－tan＝－＝－＝－2＋.(3)＝＝tan 45°＝1.【答案】 (1) (2)－2＋ (3)1(1)利用两角差的正切公式 tan(α±β)＝.(2)＝π－；＝－.(3)＝tan 60 °.方法归纳利用公式 T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan”“＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．跟踪训练 1 求值：(1)tan 15°；(2)；(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.解析：(1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝＝2－.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－.(3) tan 60°＝＝，∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan...