高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一 二倍角公式的推导思考 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用 α 的三角函数表示 2α 的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝.思考 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1，你能否只用 sin α 或 cos α表示 cos 2α？答案 cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.知识点二 二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos2α－sin2α＝cos 2 α ，＝tan 2α.2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2 α ，1－cos 2α＝2sin 2 α ，1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2 .降幂公式cos2α＝，sin2α＝.类型一 给角求值例 1 求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos215°；(3)；(4)－.解 (1)cos 36°cos 72°＝＝＝＝.(2)－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°＝－.(3)＝2·＝2·＝－2.(4)－＝＝＝＝＝4.反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)cos cos cos ；(2)＋.解 (1)原式＝＝＝＝＝＝.(2)原式＝＝＝＝＝4.类型二 给值求值例 2 (1)若 sin α－cos α＝，则 sin 2α＝ .答案 解析 (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2⇒sin 2α＝1－2＝.(2)若 tan α＝，则 cos2α＋2sin 2α 等于( )A. B.C.1 D.答案 A解析 cos2α＋2sin 2α＝＝.把 tan α＝代入，...