3.1.3 两角和与差的正切 [学习目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．[知识链接]1．如何化简 tan 呢？答 因为 tan 的值不存在，不能利用公式 Tα－β，所以改用诱导公式来解．tan＝＝.2．你能根据同角三角函数基本关系式 tan α＝，从两角和的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角 α，β 的正切值表示 tan(α＋β)的公式吗？答 当 cos(α＋β)≠0 时，tan(α＋β)＝＝.当 cos αcos β≠0 时，分子分母同除以 cos αcos β，得tan(α＋β)＝.[预习导引]1．两角和与差的正切公式(1)Tα＋β：tan(α＋β)＝.(2)Tα－β：tan(α－β)＝.2．两角和与差的正切公式的变形(1)Tα＋β的变形：tan α＋tan β＝tan( α ＋ β )(1 － tan _α tan _β ) ． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan( α ＋ β ) ． tan αtan β＝1－.(2)Tα－β的变形：tan α－tan β＝tan( α － β )(1 ＋ tan _α tan _β ) ． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan( α － β ) ． tan αtan β＝－1.要点一 利用和(差)角的正切公式求值例 1 求下列各式的值：(1)；(2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.(2) tan 45°＝＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°，∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.规律方法 公式 Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有 tan αtan β，tan α＋tan β(或 tan α－tan β)，tan(α＋β)(或 tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．跟踪演练 1 求下列各式的值：(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.解 (1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－.要点二 利用和(差)角的正切公式求角例 2 若 α，β 均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求 α＋β.解 (1－tan α)(1－tan β)＝2，∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β...
