高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义学案（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.1.3 导数的几何意义自主预习·探新知情景引入 在阳光明媚的春天，外出旅游是一件非常惬意的事情，爬爬山、看看大海，既锻炼了身体，开阔了眼界，又愉悦了心情．在登山时，你是否有这样的感觉：当山坡比较平缓时，会步履轻松，而当山坡比较陡峭时，就会气喘吁吁．当然你可以从物理角度来解释这种现象，可是你有没有思考过其中蕴含的数学知识呢？新知导学 1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的__直线 PT __称为点 P 处的切线．(2)导数的几何意义导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 k＝lim ＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当 x 变化时，__f ′( x ) __便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝lim ____.预习自测 1．设 f ′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )A．不存在 B．与 x 轴平行或重合C．与 x 轴垂直D．与 x 轴斜交[解析] 曲线在点(x0，f(x0))的切线斜率为 0，切线平行或重合于 x 轴．2．(2020·福建福州高二检测)曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x－y＋1＝0，则( A )A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在[解析] 曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率 k＝2，∴f′(x0)＝2，故选 A．3．函数 y＝f(x)＝在 x＝1 处的切线方程为__x ＋ y － 2 ＝ 0 __.[解析] y′|x＝1＝f ′(1)＝lim ＝lim ＝lim ＝－1，则切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0.4．求曲线 y＝x2＋1 在点 P(1,2)处的切线的斜率 k.[解析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝＝Δx＋2.∴k＝lim ＝lim (Δx＋2)＝2.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶ 导数几何意义的理解典例 1 若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( A ) [思路分析] (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么特点？[解析] 因为函数 y＝f(x)的导函数 y＝f ′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有 A 选项符合．『规律方法』 1.f...