高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)[学习目标]1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．[目标解读]1．重点是利用导数的四则运算法则求导．2．难点是导数公式的综合应用及复合函数的求导．[情景引入]空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能见几条小鱼儿自由自在地游来游去．微风过处，池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．我沉醉了，是啊！基本的是简单的美，复合的是深沉的美，生活如此，我们的学习又何尝不是呢？复合函数作为一个重要的知识点，它的导数如何求呢？提示：复合函数的求导建立在基本初等函数求导公式基础上，应用复合函数的求导公式求解．[新知探究]1．复合函数的求导(1)复合函数的概念对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 ，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 y＝f(g(x))．(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系：yx′＝ .问题探究 2：若复合函数 y＝f(g(x))由函数 y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数 y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？提示：在复合函数中，内层函数 u＝g(x)的值域必须是外层函数 y＝f(u)的定义域的子集．【例题讲解】例 1 求下列函数的导数．(1)y＝x2＋log3x；( 2)y＝x3·ex；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝sin4＋cos4.【思路启迪】 ①②③④结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导；⑤先化简，再求导．【解】 (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex.(3)y′＝()′＝＝＝－.(4)y′＝()′＝＝＝.(5) y＝(sin2＋cos2)2－2sin2·cos2＝1－sin2＝1－×＝＋cosx，∴y′＝(＋cosx)′＝－sinx.点评：此类问题出错的主要因素一般有二：一是基本初等函数的导数公式记忆有误；二是求1导法则掌握不到位，尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆，导致运算结果出现错误．对于复杂函数求导，一般遵循先化简再求导的原则，但要注意化简过程中变换的等价性．例 2 求下列函数的导数：(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln(4x－1)；(3)f(x)＝23x＋2；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝sin(3x＋)；(6)f(x)＝cos2x.【思路启迪】 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆...