高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学案 新人教B版必修4-新人教B版高一必修4数学学案

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切 [学习目标] 1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．[知识链接]1．代数式变换与三角变换有什么不同？答 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．2．倍角公式(1)S2α：sin 2α＝2sin_α cos _α.(2)C2α：cos 2α＝cos 2 α － sin 2 α ＝2cos 2 α － 1 ＝1 － 2sin 2 α .(3)T2α：tan 2α＝.[预习导引]1．半角公式(1)S：sin ＝± ；(2)C：cos ＝± ；(3)T：tan ＝± (无理形式)＝＝(有理形式)．2．半角公式变形(1)sin2＝；(2)cos2＝；(3)tan2＝.要点一 三角函数的求值例 1 已知 sin α＝－且 π<α<π，求 sin ，cos ，tan 的值．解 sin α＝－，π<α<π，∴cos α＝－.又<<π，∴sin ＝ ＝ ＝，cos ＝－ ＝－ ＝－，tan ＝＝－4.规律方法 对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．跟踪演练 1 已知 sin α＝，sin(α＋β)＝，α、β 均为锐角，求 cos 的值．解 0<α<，sin α＝，∴cos α＝＝.又 0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π.若 0<α＋β<， >，即 sin α>sin(α＋β)，∴α＋β<α 不可能．∴<α＋β<π.又 sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.而 0<β<，0<<，∴cos＝ ＝.要点二 三角函数的化简例 2 化简：(0<θ<π)．解 原式＝＝＝－. 0<θ<π，∴0<<，∴cos >0，∴原式＝－cos θ.规律方法 (1)式子中含有 1＋cos θ，1－cos θ 等形式时，常需要用半角公式升幂．(2)在开方时要注意讨论角的范围．跟踪演练 2 化简：.解 由 tan＝＝＝，则原式＝＝＝1.1．设 5π＜θ＜6π，cos＝a，那么 sin 等于( )A．－ B．－ C．－ D．－答案 B解析 由 cos＝1－2sin2得 sin2＝，又 5π＜θ＜6π，∴＜＜.∴sin＜0.∴sin＝－ .2．已知 cos θ＝，且 270°＜θ＜360°，...