高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.3 两角和与差的正切函数学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

2．3 两角和与差的正切函数知识点 两角和与差的正切公式 [填一填](1)两角和的正切：tan(α＋β)＝(Tα＋β)．(2)两角差的正切：tan(α－β)＝(Tα－β)．公式 Tα±β的记忆规律：公式的左侧是复角的正切即 tan(α±β)，右侧是分式，分子是 tanα 与 tanβ 的和或差，分母是 1 与 tanαtanβ 的差或和，分式的运算符号可以简记为“分子从前，分母相反”．[答一答]1．在公式 Tα±β中，α，β 的使用范围是什么？公式的变形有哪些？提示：(1)从公式的推导过程来看，要使公式成立，α，β 以及 α±β 都不能等于 kπ＋(k∈Z)，例如 tan，tan 都有意义，但 tan(－)无意义．(2)两角和与差的正切公式的常见变形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝；③tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanαtanβ＝1－.这些变形是化简和求值中常用的形式，这些变形实质上是在提醒我们只要遇见tanα±tanβ 和 tanαtanβ，就要有灵活运用公式 Tα±β的变形形式的意识．2．为什么 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ 不恒成立？提示：可以举反例，例如，tan(30°＋120°)＝tan150°＝－，而 tan30°＝，tan120°＝－，所以 tan30°＋tan120°＝－＝－.所以 tan(30°＋120°)≠tan30°＋tan120°.因此 tan(α＋β)＝tanα＋tanβ 不恒成立．公式 Tα＋β的结构特征和符号规律(1)公式 Tα±β 的右侧为分式形式，其中分子为 tan α 与 tan β 的和或差，分母为 1 与tanαtanβ 的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 类型一 公式正用和逆用 【例 1】 求下列各式的值．(1)tan105°；(2)；(3)；(4).【思路探究】 熟练掌握 Tα±β的公式，能够对公式进行正用和逆用．【解】 (1)原式＝tan(60°＋45°)＝＝＝－2－.(2)原式＝＝tan45°＝1.(3)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.(4)原式＝＝tan30°＝.规律方法 利用两角和与差的正切公式求值，关键是弄清公式的结构特点．(1)已知 tanx＝，tany＝－3，求 tan(x＋y)的值；(2)已知一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且 a≠c)的两根为 tanα，tanβ，求 tan(α＋β)的值．解：(1)tan(x＋y)＝＝＝－.(2)由 a≠0 和一元二次方程根与系数的关系，得 又 a≠c，∴tan(α＋β)＝＝＝－＝.类型二 变形应用公式 【例 2】 (1)若 α＋β＝，tanα＋(tanαtanβ＋c)＝0(c 为常数)，则 tanβ＝________；(...