高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 第2课时 半角公式学案（含解析）北师大版必修4-北师大版高二必修4数学学案

第 2 课时 半角公式知识点 半角公式 [填一填](1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝±＝＝.注意：(1)半角的正弦、余弦、正切公式通常是用单角的余弦(或正弦和余弦)来表示，是二倍角公式的推论．(2)注意 tan＝±的适用范围．[答一答]求半角的正切值常用什么方法？提示：根据经验，解决半角的正切值问题有三种方法：(1)tan＝±；(2)tan＝；(3)tan＝.对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道 cosα 的值及相应α 的条件，便可求出 sin，cos，tan.(3)由于 tan＝及 tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于 tan 的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用 sin2＝，cos2＝求解. 类型一 用半角公式求值 【例 1】 已知 sinα＝－且 π<α<，求 sin，cos，tan 的值．【思路探究】 半角公式是用单角的余弦值求半角的三角函数值，因此要先根据条件求出 cosα，再代入半角公式求值．【解】 sinα＝－，π<α<，∴cosα＝－＝－＝－.又<<，∴sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，tan＝＝－4.规律方法 已知角 α 的某三角函数值，用半角公式可求的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角公式求出该角的余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要注意根据的范围确定正负号．(1)已知 θ∈(，)，|cos2θ|＝，则 sinθ 的值为( C )A．－ B.C．－ D.解析：因为 θ∈(，)，所以 2θ∈(，3π)，所以|cos 2θ|＝－cos2θ＝，即 cos2θ＝－，所以 sinθ＝－＝－＝－.(2)已知 sinα＝，sin(α＋β)＝，α，β 均为锐角，求 cos 的值．解：因为 0<α<，sinα＝，所以 cosα＝＝，又因为 0<α<，0<β<，所以 0<α＋β<π.若 0<α＋β<，因为>，即 sinα>sin(α＋β)，所以 α＋β<α，这不可能，所以<α＋β<π.又因为 sin(α＋β)＝，所以 cos(α＋β)＝－，所以 cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.而 0<β<，0<<，所以 cos＝＝.类型二 利用公式化简 【例 2】 化简：(0<θ<π)．【思路探究】 式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进行化简．【解】 原式＝＝， 0<θ<π，∴0<<，∴原式＝sin2－cos2＝－cosθ.规律方法 三角函数式化简的方法与技巧(1)应用公式：根据式...