§3 基本不等式3．1 基本不等式知识点一 不等式 [填一填]当 a，b 是任意实数时，有 a2＋b2≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．[答一答]1．“当 a＝b 时，等号成立”“仅 a＝b 时，等号成立”的含义分别是什么？提示：它们的含义分别是“如果 a＝b，那么 a2＋b2＝2ab”，“如果 a2＋b2＝2ab，那么a＝b”．知识点二 基本不等式 [填一填](1)概念：如果 a，b 都是非负数，那么≥，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，其中称为 a，b 的算术平均数，称为 a，b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式．(2)文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)意义：① 几何意义：半径不小于半弦．② 数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．[答一答]2．利用均值不等式求最值时应注意什么？提示：利用均值不等式求最值应注意以下 3 点：①a，b 一定都是正数．② 求积 ab 的最大值时，应看和 a＋b 是否为定值； 求和 a＋b 的最小值时，应看积 ab 是否为定值．③ 看等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．基本不等式的几何解释如图所示，以长为 a＋b 的线段为直径作圆，在直线 AB 上取点 C，使 AC＝a，CB＝b.过点 C 作垂直于直线 AB 的弦 DD′，连接AD，DB，易证 Rt△ACD∽Rt△DCB，那么 CD2＝AC·CB，得 CD＝.而圆的半径为.显然，它大于或等于 CD，即≥.当且仅当点 C 与圆心重合，即 a＝b 时，等号成立．类型一 判断不等式成立 【例 1】 下列不等式一定成立的是( )A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)【思路探究】 要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正，二定，三相等”这三个条件．如果视作函数，则需研究函数的定义域和单调性．【解析】 A 中，当 x>0 时，由基本不等式可得 x2＋≥2x×＝x，当且仅当 x＝时取等号，故 A 不成立；B 中，sinx＋≥2(sinx∈(0,1])，sinx＋≤－2(sinx∈[－1,0))，故 B 不成立；C 中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故 C 成立；D 中，显然∈(0,1](x∈R)，故 D 不成立．【答案】 C规律方法 运用基本不等式判断所给的不等式是否成立，一般有两种处理途径：(1)在不违背基本不等式成立的条件下，进行合理的变形推导．(2)可以针对所给条件，结合基本不等式的使用条件，选...
