高中数学 第三章 不等式 3.3.2 基本不等式与最大（小）值学案（含解析）北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案

3．2 基本不等式与最大(小)值知识点 基本不等式与最大(小)值 [填一填]已知 x，y 都是正数，则(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当且仅当 x＝y 时，积 xy 取得最大值；(2)若 xy＝p(积为定值)，则当且仅当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2.[答一答]均值不等式可以解决什么问题？提示：均值不等式可以解决定积、定和问题．使用均值不等式解决问题时，常见的变形常用的变形公式有：(1)a＋b≥2，ab≤()2(当且仅当 a＝b 时取等号)；(2)a＋≥2(a>0)(当且仅当 a＝1 时取等号)；a＋≤－2(a<0)(当且仅当 a＝－1 时取等号)；(3)＋≥2(a，b 同号)(当且仅当 a＝b 时取等号)；(4)≤≤≤(a，b∈R＋)(当且仅当 a＝b 时取等号)．类型一 利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)若 x>0，求函数 f(x)＝＋3x 的最小值；(2)若 x<0，求函数 f(x)＝＋3x 的最大值．【思路探究】 利用基本不等式求最值，必须同时满足 3 个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立．三个条件缺一不可．对(1)，由 x>0，可得>0,3x>0.又因为·3x＝36 为定值，且＝3x(x>0)时，x＝2，即等号成立，从而可利用基本不等式求最值．对(2)，由 x<0，得<0,3x<0，所以－>0，－3x>0，所以对＋(－3x)可利用基本不等式求最值．【解】 (1)因为 x>0，所以>0,3x>0，所以 f(x)＝＋3x≥2＝2＝12.当且仅当＝3x，即 x＝2 时，等号成立．所以当 x＝2 时，f(x)取得最小值 12.(2)因为 x<0，所以－x>0，所以－f(x)＝＋(－3x)≥2＝12，所以 f(x)≤－12.当且仅当－＝－3x，即 x＝－2 时，等号成立．所以当 x＝－2 时，f(x)取得最大值－12.规律方法 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正二定三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解．设 x>0，求 y＝2－x－的最大值．解： x>0，∴x＋≥2＝4，∴y＝2－≤2－4＝－2.当且仅当 x＝，即 x＝2 时等号成立，y 取最大值－2.【例 2】 (1)求函数 y＝x(5－2x)(01)的最小值；(3)已知 x>0，求函数 y＝(x>0)的最大值．【思路探究】 (1)中要注意构造 2x＋(5－2x)为定值；(2)中要注意挖掘出(x－1)·为定值．【解】 (1)y＝x(5－2x)＝·2x·(5－2x)． 01，∴x－1>0，∴y≥2＋2＝2×3...