第三章 三角恒等变换学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .cos(α＋β)＝cos α cos β － sin α sin β .sin(α＋β)＝sin α cos β ＋ cos α sin β .sin(α－β)＝sin α cos β － cos α sin β .tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.2.二倍角公式sin 2α＝2sin α cos α .cos 2α＝cos 2 α － sin 2 α ＝2cos 2 α － 1 ＝1 － 2sin 2 α .tan 2α＝.3.升幂缩角公式1＋cos 2α＝2cos 2 α .1－cos 2α＝2sin 2 α .4.降幂扩角公式sin xcos x＝，cos2x＝，sin2x＝.5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan( α ＋ β )(1 － tan α tan β ) ，tan α－tan β＝tan( α － β )(1 ＋ tan α tan β ). 6.辅助角公式y＝asin ωx＋bcos ωx＝sin(ωx＋θ).类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例 1 已知 α，β 为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求 cos β 的值.解 α 是锐角，cos α＝，∴sin α＝，tan α＝.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝. β 是锐角，∴cos β＝.反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如 α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 α，β，它们的终边分别与单位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为，.(1)求 tan(α－β)的值；(2)求 α＋β 的值.解 (1)由题可知，cos α＝，cos β＝.由于 α，β 为锐角，则 sin α＝，sin β＝，故 tan α＝，tan β＝，则 tan(α－β)＝＝＝－.(2)因为 tan(α＋β)＝＝1，sin α＝<，sin β＝<，即 α＋β<，故 α＋β＝.类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例 2 求函数 f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R 的最值及取到最值时 x 的值.解 设 sin x＋cos x＝t，则 t＝sin x＋cos x＝＝sin，∴t∈[－，]，∴sin x·cos x＝＝. f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·c...
