第三章 三角恒等变换1．三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．2．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明．(1)不附加条件的恒等式证明三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路找一个桥梁过渡．(2)条件恒等式证明这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所附条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．[典例 1] 化简：.解：法一：原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.法二：原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.[对点训练]1．求证：tan2x＋＝.证明：法一：左边＝＋＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．原式得证．法二：右边＝＝＝＝＝＝tan2x＋＝右边．原式得证.三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．[典例 2] 已知 tan α＝－，cos β＝，α，β∈(0，π)．(1)求 tan(α＋β)的值；(2)求函数 f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．解：(1)由 cos β＝，β∈(0，π)，得 sin β＝，tan β＝2，所以 tan(α＋β)＝＝＝1.(2)因为 tan α＝－，α∈(0，π)，所以 sin α＝，cos α＝－ .f(x)＝sin xcos α－cos xsin α＋cos xcos β－sin xsin β＝－sin x－cos x＋cos x－sin x＝－sin x.所以 f(x)的最大值为.[对点训练]2．已知 tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β 均为锐角，求 cos β 的值．解：因为 α，β 均为锐角，所以 0<α＋β<π，又 cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，且 sin(α＋β)＝.因为 tan α＝4，所以 sin α＝，cos α＝.所以 cos β＝cos[...
