第 2 课时 两角和与差的正切函数[核心必知]两角和与差的正切公式名称公式成立条件两角和的正切(Tα＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)两角差的正切(Tα－β)tan(α－β)＝α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)[问题思考]对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？提示：常见的变形公式有：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；③tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)；⑤1－tan αtan β＝；⑥1＋tan αtan β＝.讲一讲1．计算：(1)＝________；(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝________．[尝试解答] (1)法一： tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝2＋∴＝＝＝－.法二：原式＝＝tan(45°－75°)＝－tan 30°＝－.(2) ＝tan 60°，∴原式＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.利用两角和与差的正切公式解决给角求值问题，关键是对公式的灵活运用，既要会“正用”还要会“逆用”和“变形”用，如进行“1”的代换，常见 1＝tan 45°，及变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．练一练1．计算：(1)＝________；(2)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝________．解析：(1)原式＝＝＝－tan(15°＋45°)＝－tan 60°＝－.(2)原式＝1＋tan 23°＋tan 22°＋tan 22°tan 23°＝1＋tan(22°＋23°)(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝1＋1×(1－tan 22°tan 23°)＋tan 22°tan 23°＝2.答案：(1)－ (2)2讲一讲2．已知 tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，求 tan(α＋)．[尝试解答] tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，∴tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝＝.“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中需多加注意角的范围，必要时实行拆分角．2．已知 sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且 θ 是第二象限的角，求 tan(θ－φ)的值．解： sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝.又 θ 是第二象限角，∴cos θ＝－ ＝－，∴tan θ＝＝－，又 tan φ＝，∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.讲一讲3．已知 tan(...
