第 1 课时 倍角公式及其应用[核心必知]二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)记法公式推导方法S2αsin 2α＝2sin_α cos _αSα＋β――→S2αC2αcos 2α＝cos 2 α － sin 2 α Cα＋β――→C2αcos 2α＝1 － 2sin 2 α cos 2α＝2cos 2 α － 1 利用 sin2α＋cos2α＝1消去 sin2α 或 cos2αT2αtan 2α＝Tα＋β――→T2α[问题思考]1．倍角公式成立的条件是什么？提示：在公式 S2α，C2α中，角 α 为任意角，在 T2α中，只有当 α≠kπ＋(k∈Z)及 α≠＋(k∈Z)时，才成立．2．在什么条件下，sin 2α＝2sin α 成立？提示：一般情况下，sin 2α≠2sin α，只有当 α＝2kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α 才成立．讲一讲1．求下列各式的值：(1)sin 75°cos 75°；(2)－sin2；(3)；(4)－.[尝试解答] (1)原式＝(2sin 75°cos 75°)＝sin 150°＝×＝.(2)原式＝(1－2sin2)＝cos ＝×＝.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.(4)原式＝＝＝＝＝4.二倍角公式的“三用”：(1)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(2)公式逆用要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (3)公式的变形用主要形式有 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α(升幂公式)，cos2α＝，sin2α＝(降幂公式)．练一练1．求值：(1)sin cos cos cos cos ＝________；(2)＝________．解析：(1)原式＝sin cos cos cos ＝sin cos cos ＝sin cos ＝sin ＝.(2)原式＝＝＝＝＝＝＝＝2.答案：(1) (2)2讲一讲2．已知 α 是第一象限角，且 cos α＝，求的值．[尝试解答] α 为第一象限角，且 cos α＝，∴sin α＝.原式＝＝·＝·＝×＝－.当待求值的函数式较复杂时，一般需要利用诱导公式，倍角公式以及和差公式进行化简，与已知条件取得联系，从而达到化简求值的目的．练一练2．已知<α<π，tan α＋＝－.(1)求 tan α 的值；(2)求的值．解： (1) tan α＋＝－，∴3tan2α＋10tan α＋3＝0.解得 tan α＝－或 tan α＝－3. <α<π，∴－1
