高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数(二)学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案

§3 二倍角的三角函数(二)内容要求 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法(重点).2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用(难点)．知识点 半角公式(1)S：sin ＝± ；(2)C：cos ＝± ；(3)T：tan ＝± (无理形式)＝＝(有理形式)．【预习评价】1．若 cos α＝，且 α∈(0，π)，则 sin 的值为( )A．－ B. C.D．－答案 B2．已知 cos α＝，α∈，则 cos 的值为( )A. B.C．－D．－答案 B题型一 应用半角公式求值【例 1】 已知 cos α＝，α 为第四象限角，求 sin 、cos 、tan .解 sin ＝± ＝± ＝±，cos ＝± ＝± ＝±，tan ＝± ＝±＝±. α 为第四象限角，∴为第二、四象限角．当为第二象限角时，sin＝，cos＝－，tan＝－；当为第四象限角时，sin＝－，cos＝，tan＝－.规律方法 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正负两个符号，而对于 tan ，还要注意运用公式 tan ＝＝来求值．【训练 1】 已知 sin θ＝，且<θ<3π，求 cos 和 tan .解 sin θ＝，<θ<3π，∴cos θ＝－＝－.由 cos θ＝2cos2－1 得 cos2＝＝. <<π.∴cos ＝－ ＝－.tan ＝＝＝＝2. 题型二 利用半角公式化简【例 2】 化简.解 ＜α＜2π，∴＜＜π，∴原式＝＝＝cos2－sin2＝cos α.规律方法 对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数种数尽量少；(3)使三角函数式中的项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．【训练 2】 化简：，α∈.解 α∈，∴cos α＞0，则由半角公式得＝cos α，∴原式＝.又∈，∴sin＞0，从而＝sin，即原式＝sin.方向 1 三角恒等式的证明【例 3－1】 证明：··＝tan .证明 左边＝··＝·＝·＝＝＝tan ＝右边．所以原等式成立．方向 2 三角恒等变形的综合应用【例 3－2】 已知函数 f(x)＝cos－2sin xcos x.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求证：当 x∈时，f(x)≥－.(1)解 f(x)＝cos－2sin xcos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以 f(x)的最小正周期 T＝＝π.(2)证明 由(1)知 f(x)＝sin . x∈，∴2x＋∈，∴当 2x＋＝－，即 x＝－时，f(x)取得最小值－.∴f(x)≥－得证．方向 3 三角函数的实际应用【例 3－3】 如图，已知 OP...