第三章 三角恒等变形1 同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用．一、知一求二例 1 已知 sin α＝，≤α≤π，则 tan α＝_______________________.解析 由 sin α＝，且 sin2α＋cos2α＝1 得 cos α＝±，因为≤α≤π，可得 cos α＝－，所以 tan α＝＝－2.答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论．二、“1”的妙用例 2 证明：＝.证明 因为 sin2x＋cos2x＝1，所以 1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2，所以＝＝＝＝.即原命题得证．点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．三、齐次式型求值例 3 已知 tan α＝2，求值：(1)＝________；(2)2sin2α－3cos2α＝________.解析 (1)因为 cos α≠0，分子分母同除以 cos α，得＝＝＝－1.(2)2sin2α－3cos2α＝，因为 cos2α≠0，分子分母同除以 cos2α，得＝＝＝1.答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知 tan α＝m 的条件下，求关于 sin α、cos α 的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于 sin α、cos α 的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．(2)因为 cos α≠0，所以分子、分母可同时除以 cosn α(n∈N＋)．这样可以将所求式化为关于 tan α 的表达式，整体代入 tan α＝m 的值求解.2 三角恒等变形中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变形离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变形的一种常用技巧．一、利用条件中的角表示目标中的角例 1 设 α、β 为锐角，且满足 cos α＝，tan(α－β)＝－，求 cos β 的值．分析 利用变换 β＝α－(α－β)沟通条件与欲求之间的关系．解 α、β 为锐角，且 tan(α－β)＝－<0，∴－<α－β<0.∴sin(α－β)＝－ ＝－，cos(α－β)＝＝，sin α＝＝.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×(－)＝.二、利用目标中...
