3.4 生活中的优化问题举例第 1 课时 变化率问题、导数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P101～P104的内容，回答下列问题．某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 ml 溶液的圆柱形易拉罐．(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可．(2)如何制作使用材料才能最省？提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为 x，列出圆柱表面积 S＝2πx2＋(x＞0)，求 S 最小时，圆柱的半径、高即可．2．归纳总结，核心必记(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)解决优化问题的基本思路[问题思考]在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．[课前反思](1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？ ；(2)解决优化问题的基本思路是什么？ ．讲一讲1．某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为 O，半径为 100 m，并与北京路一边所在直线 l 相切于点 M.点 A 为上半圆弧上一点，过点 A 作 l 的垂线，垂足为点 B.市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为 S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将 S 表示为 θ 的函数；(2)当绿化面积 S 最大时，试确定点 A 的位置，并求最大面积．[尝试解答] (1)BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．则 S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令 S′＝0，得 cos θ＝或 cos θ＝－1(舍去)，此时 θ＝.当 θ 变化时，S′，S 的变化情况如下表：所以，当 θ＝时，S 取得最大值 Smax＝3 750 m2，此时 AB＝150 m，即点 A 到北京路一边 l 的距离为 150 m.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形...
