3.1.3 导数的几何意义[学习目标]1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．弄清函数在 x＝x0处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)的区别与联系．会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．[目标解读]1．重点是导数的几何意义．2．难点是准确理解并会求曲线上某点处的切线方程．[情境引入]我们在初中学习圆的切线时知道，当直线和圆有唯一的公共点时，直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广到一般曲线的切线呢？即是否“当直线和曲线有唯一的公共点时，直线叫做曲线过该点的切线”？显然这种推广是不妥当的．如图中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y＝sinx.直线 l1与曲线 C 有唯一的公共点 M，但我们不能说直线 l1与曲线 C 相切；而直线 l2尽管与曲线 C 不止有一个公共点，我们还是说直线 l2是曲线 C 在点 N处的切线，那么如何求出这样的切线呢？[新知探究]1．导数的几何意义(1)切线：如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．显然割线 PPn的斜率是 kn＝ ，当点 Pn无限趋近于点 P 时，kn无限趋近于切线 PT 的斜率．(2)几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ，也就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率 k＝ ＝ 相应地，切线方程为 问题探究 1：曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？提示：不一定．曲线的切线与曲线可能有一个公共点，也可能有无数个公共点．如直线 y＝1 与曲线 y＝sinx 相切，但它们有无数个公共点．2．导函数从求函数 f(x)在 x＝x0处导数的过程可以看到，当 x＝x0时，f′(x0)是一个 的数．这样，当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称 )．y＝1f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝ .问题探究 2：“函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数”与“导函数”有何区别？提示：函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数 f′(x0)是一个函数值，即一个确定的值；导函数 y＝f′(x)是针对某一区间内任意的 x0，如果函数 y＝f(x)的导数都存在，则都有唯一确定的值 f′(x0)与 x0对应，所以，函数的导函数是一个 函数关系．[例题讲解]例 1 已知曲线 C：y＝x3＋...
