高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学案

3．1 导数的概念3．1.1 平均变化率某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y(℃)3938.738.53837.637.336.8问题 1：试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况，哪段时间体温变化较快？提示：从 20 min 到 30 min 变化快．问题 2：如何刻画体温变化的快慢？提示：用平均变化率．问题 3：平均变化率一定为正值吗？提示：不一定．可正、可负、可为零．1．平均变化率一般地，函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.2．平均变化率与曲线变化关系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．对平均变化率的理解(1)由平均变化率的定义知，平均变化率可正、可负、可为零．(2)平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．求平均变化率[例 1] 已知函数 f(x)＝2x2＋1.(1)求函数 f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率；(2)求函数 f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率．[思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可．[精解详析] (1)＝＝＝4.2.(2)＝＝＝＝8.02.[一点通] 求函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的步骤：1第一步：求 x2－x1；第二步：求 f(x2)－f(x1)；第三步：由定义得出.1．求函数 y＝sin x 在 0 到之间和到之间的平均变化率．解：在 0 到之间的平均变化率为＝；在到之间的平均变化率为＝.2.如图是函数 y＝f(x)的图像，则：(1)函数 f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：(1)函数 f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.(2)由函数 f(x)的图像知，f(x)＝所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.答案：(1) (2)平均变化率的应用[例 2] 已知气球的体积为 V(单位：L)与半径 r(单位：dm)之间的函数关系是 V(r)＝πr3.(1)求半径 r 关于体积 V 的函数 r(V)；(2)比较体积 V 从 0 L 增加到 1 L 和从 1 L 增加到 2 L 时半径 r 的平均变化率，哪段半径变化较快(精确到 0.01)？此结论可说明什么意义？[思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数 r(V)的解析式，再根据求平均变化率的步骤运算．[精解详析] (1) V＝πr3，∴r3＝，r＝ ，∴r(V)＝ .(2)函数 r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)．函数 r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为＝－ －≈0.16(dm/L)．显然体积 V 从 0 L ...