3.1.2 空间向量的数乘运算[目标] 1.掌握空间向量的数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量的意义.2.理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，会证明空间三点共线与四点共面问题．[重点] 应用共线定理与共面定理解决共线问题与共面问题．[难点] 证明线面平行与面面平行．知识点一 空间向量的数乘运算[填一填][答一答]1．空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算有什么关系？提示：相同．2．类比平面向量，空间向量的数乘运算满足(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ，μ∈R)，对吗？提示：正确．类比平面向量的运算律可知．知识点二 共线、共面定理[填一填] [答一答]3．a＝λb 是向量 a 与 b 共线的充要条件吗？提示：不是．由 a＝λb 可得出 a，b 共线，而由 a，b 共线不一定能得出 a＝λb，如当b＝0，a≠0 时．4．空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：空间任意两个向量一定共面，但空间任意三个向量不一定共面．5．共面向量定理中为什么要求 a，b 不共线？提示：如果 a，b 共线，则 p 一定与向量 a，b 共面，却不一定存在实数组(x，y)，使 p＝xa＋yb，所以共面向量基本定理的充要条件要去掉 a，b 共线的情况．6．已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x＋y＋z＝1)的点 P 与点 A，B，C 是否共面？提示：四点共面． x＋y＋z＝1，∴x＝1－y－z，又 OP＝xOA＋yOB＋zOC∴OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC∴OP－OA＝y(OB－OA)＋z(OC－OA)∴AP＝yAB＋zAC，∴点 P 与点 A，B，C 共面．1．共线向量、共面向量不具有传递性．2．共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件 a≠0 不可遗漏．3．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．4．空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．5．向量 p 与 a，b 共面的充要条件是在 a 与 b 不共线的前提下才成立的，若 a 与 b 共线，则不成立．类型一 空间向量的数乘运算【例 1】 设 O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为 OC 的中点，试用向量OA，OB，OD表示AE.【分析】 将向量AE分解成OA，OB，OD的线性组合的形式．【解】 由题意，可以作出如下图所示的几何图形．在封闭图形 ADOE 中，有：AE＝AD＋DO＋OE， ①在△AOD 中，AD＝OD－OA. ②在△BOC 中，OC＝BC－BO， AD＝B...
