高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1.3 空间向量的数量积运算[目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[重点] 空间向量的数量积运算．[难点] 利用空间向量解决夹角、距离等问题．知识点一 空间向量的夹角[填一填]1．定义：(1)条件：a，b 是空间的两个非零向量．(2)作法：在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b.(3)结论：∠ AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b．2．范围：a，b∈[0，π]，其中，(1)当a，b＝0 时，a 与 b 的方向相同．(2)当a，b＝π 时，a 与 b 的方向相反．(3)当a，b＝时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.[答一答]1．若 a，b 是空间的两个非零向量，则－a，b＝a，－b＝a，b，对吗？提示：不对． －a 与 a，－b 与 b 分别是互为相反向量，∴－a，b＝a，－b＝π－a，b．知识点二 空间向量的数量积[填一填]1．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a，b，则|a||b|cosa，b叫做 a，b 的数量积，记作 a·b.即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；② 交换律：a·b＝b·a；③ 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.2．空间向量数量积的性质 [答一答]2．类比平面向量，你能说出 a·b 的几何意义吗？提示：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|·cosθ 的乘积．3．对于向量 a，b，c，由 a·b＝a·c，能得到 b＝c 吗？提示：不能，若 a，b，c 是非零向量，则 a·b＝a·c 得到 a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立．4．对于向量 a，b，若 a·b＝k，能不能写成 a＝？提示：不能，向量没有除法，无意义．5．为什么(a·b)c＝a(b·c)不一定成立？提示：由定义得(a·b)c＝(|a||b|cosa，b)c，即(a·b)c＝λ1c；a(b·c)＝a(|b||c|cosb，c)，即 a(b·c)＝λ2a，因此，(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 a与 c 不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．1.求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量间的夹角，在求两个向量间的夹角时 ，可用平移向量的方法，把一个向量平移到另一个向量的起点．2.利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知...