高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 两个向量的数量积课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.1.3 两个向量的数量积课堂导学三点剖析一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值【例 1】 如右图，在空间四边形 OABC 中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA 与 BC 夹角的余弦值.思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求 OA·BC 的数量积.解： ABACBC∴ABOAACOABCOA=|OA|| AC|cos〈OA, AC〉-|OA|| ABAB|cos〈OA, AB〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-162.∴cos〈OA , BC 〉=52235821624||||BCOABCOA.∴OA 与 BC 夹角的余弦值为5223.温馨提示 由数量积公式可知 cos〈a·b〉=||||baba 因此要求角的余弦值可先求 a·b.二、利用数量积的性质解决问题【例 2】 如下图，已知平行四边形 ABCD 中，AD＝４，CD＝３，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，并且PA＝6，求 PC 的长．思路分析：可将 PC表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质 a2=|a|2求出长度.1解: DCADPAPC,∴| PC|2＝ PC· PC=(DCADPA)2＝DCADDCPAADPADCADPA222||||||222＝62＋42＋32＋2｜ AD｜| DC|cos120°＝61-12＝49．∴PC＝7．温馨提示 求 PC 的长，先把 PC 转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求．三、证明垂直问题【例 3】 在正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E、F 分别是 BB1、D1B1的中点.求证：EF⊥平面 B1AC.思路分析:要证 EF⊥平面 B1AC,可证 EF 与平面 B1AC 内的两条相交直线垂直,因此只需证EF·1AB =0 及 EF ·CB1B1C=0,即可.证明：设 AB AB=a, AD =c,1AA =b,则EF =1EB +FB1= 21 (1BB +11DB)= 21 (BDAA 1)= 21 (ABADAA1)= 21 (-a+b+c),11AAABAB=a+b.∴1ABFF = 21 (-a+b+c)5(a+b)= 21 (b2-a2+c·a+c·b)= 21 (|b2|-|a|2+0+0)=0.2∴1ABEF ,即 EF⊥AB1.同理 EF⊥B1C.又 AB1∩ 21 B1C=B1,∴EF⊥平面 B1AC.温馨提示 要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.各个击破类题演练 1 四面体 ABCD 的各棱长都相等，E、F 分别是 BC、AD 的中点，求异面直线 AE、CF 所成角的余弦值.解析：如右图，设边长为 a. AE = 21 (ACAB ),CF =ACAF = 21ACAD ,∴ AE ·CF = 21 （ACAB ）（ 21ACAD ）= 21 （ 21 a2cos60°-...