3.1.3 两个向量的数量积课堂探究探究一 求向量的数量积求两个向量 m，n 的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量 m，n 的模及〈m，n〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量 m，n，从而把 m，n 的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求．【典型例题 1】 已知长方体 ABCD A′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E 为侧面 AB′的中心，F 为 A′D′的中点，计算下列数量积：(1)AB·AB′；(2)BC·ED′；(3)EF·FC′.解：如图，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则由题意，得|a|＝|c|＝2，|b|＝4，|AB′|＝2，〈AB，AB′〉＝45°，a·b＝b·c＝c·a＝0，(1)AB·AB′＝|AB||AB′|cos〈AB，AB′〉＝2×2×＝4；(2)BC·ED′＝b·＝|b|2＝16；(3)EF·FC′＝· 12 ba＝－|a|2＋|b|2＝2.探究二 求夹角和距离1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝通过向量运算求|a|.2．对于空间向量 a，b，有 cos〈a，b〉＝.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的范围是，故〈a，b〉∈时它们相等，而当〈a，b〉∈时，它们互补．【典型例题 2】 如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 M，N 分别是边 AB，CD 的中点．1(1)求 MN 的长；(2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值．思路分析：(1)求线段长，要利用向量的平方求解，关键是找到表示MN2的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积的逆用．解：设AB＝p，AC＝q，AD＝r.由题意|p|＝|q|＝|r|＝a，且 p，q，r 三向量两两夹角均为60°.(1)MN＝AN－AM＝(AC＋AD)－AB＝(q＋r－p)，∴|MN|2＝MN2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]＝＝×2a2＝.∴|MN|＝a，∴MN 的长为 a.(2)设向量AN与MC的夹角为 θ， AN＝(AC＋AD)＝(q＋r)，MC＝AC－AM＝q－p，∴AN·MC＝(q＋r)12qp＝＝＝＝a2.又 |AN|＝|MC|＝a，∴AN·MC＝|AN|·|MC|·cos〈AN，MC〉＝a·acos θ，∴cos θ＝，∴向量AN与MC夹角的余弦值为，从而异面直线 AN 与 CM 夹角的余弦值也为.探究三 数量积性质的应用1．对于空间两个非零向量 a，b，由夹角公式得 a⊥b a·b＝0.利用这一关系，可以很2好地处理立体几何中的垂直问题...
