高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 第1课时 基本不等式学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

2．2 基本不等式第 1 课时 基本不等式[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．[重点] 基本不等式的内容及证明．[难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．知识点 两个不等式 [填一填]1．重要不等式：∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．2．基本不等式：如果 a，b∈R＋，那么≤，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立．其中叫做正数 a，b 的算术平均数，叫做正数 a，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．下面是基本不等式≤的一种几何解释，请你补充完整．如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C 作 CD⊥AB 交⊙O 上半圆于 D，连接 OD，AD，BD.(1)由射影定理可知，CD＝，而 OD＝；(2)因为 OD≥CD，所以≥，当且仅当 C 与 O 重合，即 a ＝ b 时，等号成立；(3)基本不等式≤的几何意义是半径不小于半弦．2．不等式 a2＋b2≥2ab 和基本不等式≤成立的条件有什么不同？提示：不等式 a2＋b2≥2ab 对任意实数 a，b 都成立；≤中要求 a，b 都是正实数．3．(1)基本不等式中的 a，b 可以是代数式吗？(2)≥与 2≥ab 是等价的吗？提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数，否则不成立．(2)不等价，前者条件是 a>0，b>0，后者是 a，b∈R. 类型一 用基本不等式比较大小[例 1] 若 02，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从 a＋b，a2＋b2中选择．而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， 00，b>0.[变式训练 1] (1)已知 a，b∈R，且 ab>0，则下列结论恒成立的是( D )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D.＋≥2解析：对于 A，当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，所以 A 错误；对于 B，C，ab>0 只能说明a，b 同号，当 a，b 都小于 0 时，B，C 错误；对于 D，因为 ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2 成立．(2)已知 a，b 是不相等的正数，x＝...