高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1 3．1.1 空间向量及其加减运算 预习课本 P84～85，思考并完成以下问题1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？ 2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？ 1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法：2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为 0 的向量0单位向量模为 1 的向量|a|＝1 或||＝1相反向量与 a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b 或 ＝ 3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法＝＋ ＝a＋b加法Z＝－ ＝a－b运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同( )(2)零向量没有方向( )(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．化简－＋所得的结果是( )A． B．C．0 D．答案：C3．在四边形 ABCD 中，若＝＋，则四边形 ABCD 的形状一定是( )A．平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案：A4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．答案：球面空间向量的概念辨析[典例] 下列说法中正确的是( )A．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形 ABCD 中，一定有＋＝[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定；对于 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选 B.[答案] B(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． [活学活用]给出下列命题：① 零向量没有确定的方向；② 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，＝；③ 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④ 空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的序号是________．解析：①正确；②正确，...