第 2 课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用关键能力·攻重难题型探究题型一 不等式的恒成立问题例 1 已知不等式 mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数 x 不等式恒成立，求 m 的取值范围．[分析] 本题的易错之处在于忽略对二次项系数为 0 的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．[解析] 对于所有实数 x 都有不等式 mx2－2x＋m－2<0 恒成立，即函数 y＝mx2－2x＋m－2 的图象全部在 x 轴下方．当 m＝0 时，－2x－2<0，显然对任意 x 不能恒成立；当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有解得 m<1－.综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－}．[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在 R 上的恒成立问题．当未说明不等式为一元二次不等式时，有(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔或(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔或2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题．通过等价变形，将参变量分离出来，转化为 y>a(或
m(或 a≥m)；(2)若 y 在定义域内存在最小值 m，则 y>a(或 y≥a)恒成立⇔a0，x2－1>0，故有即解得所以 m≥25.故实数 m 的取值范围是{m|m≥25}．[归纳提升] 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中 x1，x2为该方程两根：(1)x1，x2一正一负⇔x1x2<0.(2)x1>0，x2>0⇔(3)x1<0，x2<0⇔【对点练习】❷ (2019·陕西汉中高二期末)要使关于 x 的方程 x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比 1 大且另一根比 1 小，则 a 的取值范围是__{ a | － 2< a <1} __.[解析] 设两根为 x1>1，x2<1，则 x1－1>0，x2－1<0，∴即即解得－2
