3．1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算[提出问题] 作向量AB＝a＋a＋a，CD＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)．问题 1：AB的模是 a 的模的几倍？提示：3 倍．问题 2：AB的方向与 a 的方向一致吗？提示：一致．问题 3：|CD|是|a|的几倍？CD与 a 的方向有怎样的关系？提示：3 倍，相反．[导入新知]定义与平面向量一样，实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘几何意义λ＞0λa 与向量 a 的方向相同λa 的长度是 a 的长度的| λ | 倍λ＜0λa 与向量 a 的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律分配律λ(a＋b)＝λa ＋ λb 结合律λ(μa)＝( λμ ) a [化解疑难]对空间向量数乘运算的理解(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当 λ＝0 时，λa＝0.(2)向量数乘运算满足以下运算律：λ(μ a)＝λμ a，λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.共线、共面向量[提出问题]空间中有向量 a，b，c(均为非零向量)．问题 1：向量 a 与 b 共线的条件是什么？提示：存在唯一实数 λ，使 a＝λb.问题 2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题 3：空间两非零向量 a，b 共面，能否推出 a＝λb(λ∈R)?提示：不能．1[导入新知]共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对 于 空 间 任 意 两 个 向 量a，b (b≠0)，a∥ b 的充要条件是存在实数 λ，使 a ＝ λb 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p ＝ xa ＋ yb 推论共线(平行)向量共面向量如果 l 为经过点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于空间任一点 O，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP＝OA＋ta，①其中 a 叫做直线 l 的方向向量，如图所示．若在 l 上取AB＝a，则①式可化为OP ＝OA＋tAB如图，空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝xMA＋yMB ，或对空间任意一点 O 来说，有OP＝OM＋xMA＋yMB[化解疑难]对共线、共面向量的理解(1)共面向量不具有传递性．(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件 a≠0 不可遗漏．(3)直线的方向向量...
