高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量基本定理[提出问题]如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，在 AB，AD，AD1上分别取单位向量 e1，e2，e3.问题 1：e1，e2，e3共面吗？提示：不共面．问题 2：试用 e1，e2，e3表示AB1.提示：AB1＝4e1＋4e2＋4e3.问题 3：若 M 为 A1B1的中点，能否用 e1，e1，e3表示AM？提示：能，AM＝4e1＋2e2＋4e3.[导入新知]空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．[化解疑难]1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．2．由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0.3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．空间向量的正交分解及其坐标表示[提出问题]{a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底．问题 1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？提示：一定．问题 2：任一向量 p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？提示：是．1问题 3：单位正交基底之间的数量积 e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有 e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.[导入新知]空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点 O 的两两垂直的单位向量 e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以 e1，e2，e3的公共起点 O 为原点，分别以 e1，e2，e3的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它的起点与原点 O 重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3.把 x ， y ， z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3下的坐标，记作 p＝(x，y，z)，即点 P 的坐标为( x ， y ， z ) ． [化解疑难]空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则 b 的坐标为(λ，μ，k).空间向量基本定理的理解[例 1] 已知{e1，e...