高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

3．3 幂函数1．理解幂函数的概念．2．掌握 y＝xα(α＝－1，，1,2,3)的图象与性质．3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．1．幂函数的概念一般地，函数 y ＝ x α 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．2．常见幂函数的图象与性质温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当 a>0 时，y＝xα是增函数；当 α<0 时，y＝xα是减函数．1．y＝2x2和 y＝－是幂函数吗？[答案] 不是2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 y＝x0(x≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( )(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( )(4)当 α>0 时，y＝xα是增函数．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×题型一幂函数的概念【典例 1】 (1)在函数① y＝，② y＝x2，③ y＝2x，④ y＝1，⑤ y＝2x2，⑥ y＝x 中，是幂函数的是( )A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥(2)已知幂函数 y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．[思路导引] 紧扣幂函数的定义求解．[解析] (1)幂函数是形如 y＝xα(α 为常数)的函数，①是 α＝－1 的情形，②是 α＝2 的情形，⑥是 α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中 x2的系数是 2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选 C.(2) y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝－1.当 m＝2 时，m2－2m－3＝－3，则 y＝x－3，且有 x≠0；当 m＝－1 时，m2－2m－3＝0，则 y＝x0，且有 x≠0.故所求幂函数的解析式为 y＝x－3或 y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．[答案] (1)C (2)见解析判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α 为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为 1.[针对训练]1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝B．y＝xC．y＝22xD．y＝x－1[解析] 函数 y＝22x＝4x不是幂函数，故选 C.[答案] C2．若幂函数 f(x)满足 f(9)＝3，则 f(100)＝________.[解析] 设 f(x)＝xα，由 f(9)＝3，得 9α＝3，∴α＝，∴f(x)＝x，∴f(100)＝100＝10.[答案] 10题型二幂函数的图象与性质【典例 2】 已知幂函数 f(x)＝xα的图象过点 P，试画出 f(x)的图象并...