高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数学案（含解析）新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

3.3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．(数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理)【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象，通过观察比较研究其图象和性质，进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点 1 幂函数的概念函数__y ＝ x α __叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数．思考 1：幂函数的解析式有什么特征？提示：①系数为 1；②底数 x 为自变量；③幂指数为常数．知识点 2 幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：幂函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R 且 y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0，＋∞) __增____增__x∈(0，＋∞) 减；增；x∈(－∞，0) 减x∈(－∞，0)减公共点都经过点(1,1)思考 2：当 α>0 时，幂函数 y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？提示：图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是( D )A．y＝2x4 B．y＝2x3－1C．y＝D．y＝x2[解析] y＝2x4中，x4的系数为 2，故 A 不是幂函数；y＝2x3－1 不是 xα的形式，故 B 不是幂函数；y＝＝2x－1，x－1的系数为 2，故 C 不是幂函数，故只有 D 是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2)，则 f(4)的值为( B )A．4B．8C．2D．[解析] 设 f(x)＝xα，∴2＝2α，∴α＝.∴f(x)＝x.∴f(4)＝4＝(22)＝23＝8.3．若 f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则 m＋n 等于( C )A．1B．2C．3D．4[解析] 由题意，得，∴∴m＋n＝3.4．已知 α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，若幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则 α＝__－ 1 __.[解析] α∈{－2，－1，－，，1,2,3}，且函数 f(x)＝xα为奇函数，∴α＝－1,1,3，又 f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＝－1.关键能力·攻重难题型探究题型一 幂函数的概念例 1 已知函数 f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．[分析] 本题将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义： (1)正比例函数 y＝kx(...