高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式同步配套教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案

三 排序不等式 对应学生用书 P351．顺序和、乱序和、反序和设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为 b1，b2，…，bn的任一排列，称 a1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋ a nb1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称 a1c1＋ a 2c2＋…＋ a ncn 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为 b1，b2，…，bn的任一排列，则有 a1bn＋ a 2bn－1＋…＋ a nb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或 b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[说明] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小． 对应学生用书 P35\s\up7(用排序不等式证明不等式所证不等式)[例 1] 已知 a，b，c 为正数，且 a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.[思路点拨] 分析题目中已明确 a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] a≥b>0，于是≤，又 c>0，从而≥，同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.所以原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知 0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明： 0<α<β<γ<，且 y＝sin x 在为增函数，y＝cos x 在为减函数，∴0cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设 x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明： x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn.由排序原理得 12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即 1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn.①又因为 x，x2，…，xn,1 为 1，x，x2，…，xn的一个排列由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－...