高中数学 第三章 推理与证明 3.3.1 综合法学案 北师大版选修1-2-北师大版高中选修1-2数学学案

§3 综合法与分析法3．1 综合法1．了解综合法的思考过程、特点．(重点)2．会用综合法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理 综合法阅读教材 P60～P61“练习”以上部分，完成下列问题．1．综合法的定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这种思维方法称为综合法．2．综合法证明的思维过程用 P 表示已知条件、已知的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法的思维过程可用框图 331 表示为：→→→…→图 331 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是由因导果的顺推证法．( )(2)综合法证明的依据是三段论．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件．( )【解析】 (1)正确．由综合法的定义可知该说法正确．(2)正确．综合法的逻辑依据是三段论．(3)正确．综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问 2：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问 3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]1用综合法证明三角问题 在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求证：A 的大小为 60°；(2)若 sin B＋sin C＝.证明：△ABC 为等边三角形．【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求 A.(2)结合(1)中 A 的大小利用三角恒等变形证明 A＝B＝C＝60°.【自主解答】 (1)由 2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)·sin C，得 2a2＝(2b－c)·b＋(2c－b)c，即 bc＝b2＋c2－a2，所以 cos A＝＝，所以 A＝60°.(2)由 A＋B＋C＝180°，得 B＋C＝120°，由 sin B＋sin C＝，得 sin B＋sin(120°－B)＝，sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝，sin B＋cos B＝，即 sin(B＋30°)＝1.因为 0°