3.4 对数[核心必知]1．对数的概念与性质(1)定义：一般地，如果 a(a＞0，a≠1)的 b 次幂等于 N，即 ab＝N，那么数 b 叫作以 a 为底 N的对数，记作 logaN ＝ b .其中 a 叫作对数的底数，N 叫作真数．logaN 读作以 a 为底 N 的对数．(2)常用对数与自然对数：以 10 为底的对数叫作常用对数，记作lg_N；以 e 为底的对数叫作自然对数，记作ln_N.(3)基本性质：① 负数没有对数，即 logaN 中真数必须大于零；②1 的对数为 0，即 loga1 ＝ 0 ；③ 底数的对数为 1，即 logaa ＝ 1 ；④ 对数恒等式：a log aN ＝ N .2．对数的运算性质如果 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则：(1) 积 的 对 数 ： loga(MN) ＝ logaM ＋ logaN；(2)商的对数：loga＝logaM － log aN；(3)幂的对数：logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数的换底公式logbN＝(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)． [问题思考]1．指数式 ab＝N 和对数式 logaN＝b(a＞0 且 a≠1，N＞0)有什么关系？提示：关系如图示．2．如何用对数的定义证明 alogaN＝N?提示：因为若 ab＝N，则 b＝logaN(a＞0且 a≠1)，所以由等量代换得 alogaN＝N.3．对数运算性质(1)当 M、N 同号时成立吗？提 示 ： 不 一 定 成 立 ． 如 lg [( －5)×(－3)]有意义，而 lg(－5)、lg(－3)无意义．讲一讲1．(1)将对数式 log27＝－3 化为指数式；(2)将指数式－2＝16 化为对数式；(3)求式子 log2(log5x)＝0 中的 x；(4)计算 4(log29－log25)．[尝试解答] (1)因为 log27＝－3，所以()－3＝27.(2)因为－2＝16，所以 log16＝－2.(3)因为 log2(log5x)＝0，所以 log5x＝1，所以 x＝5.(4)原式＝2log 29－log 25＝＝.(1)对数式和指数式互化的主要依据是关 系 式 ab ＝ N 等 价 于 b ＝ logaN(a ＞ 0 且a≠1，N＞0)，要注意 a、b、N 的位置．(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．(3)对于对数恒等式 alogaN＝N 要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．练一练1．(1)将指数式 104＝10 000 和 m＝5 化为对数式；(2)将对数式 log0.10.01＝2 和 ln x＝化为指数式；(3)求式 log3(lg x)＝1 中的 x；(4)计算 71－log75 的值．解：(1)lg 10 000＝4, m＝log5.(2)0.12＝0.01, e＝x.(3) log3(lg x)＝1，∴lg x＝3，∴...
