高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 抛物线教学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学教学案

§2 抛_物_线2．1 抛物线及其标准方程抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉链 AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C 点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉锁 D 处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题 1：曲线上点 D 到直线 EF 的距离是什么？提示：线段 DA 的长．问题 2：曲线上点 D 到定点 C 的距离是什么？提示：线段 DC 的长．问题 3：曲线上的点到直线 EF 和定点 C 之间的距离有何关系？提示：相等．抛物线的定义定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点 F 准线定直线 l 抛物线的标准方程已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l 上)，且定点到 l 的距离为 6，曲线上的点到定点距离与到定直线 l 的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题 1：到定点 A 和定直线 l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．提示：y2＝12x. 向右．问题 2：到定点 B 和定直线 l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：y2＝－12x. 向左．问题 3：到定点 C 和定直线 l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x2＝12y. 向上．问题 4：到定点 D 和定直线 l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？提示：x2＝－12y. 向下．抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) x＝－y 2 ＝－ 2 px ( p ＞ 0) x＝x 2 ＝ 2 py ( p ＞ 0) y＝－x 2 ＝－ 2 py ( p ＞ 0) y＝1．平面内与一定点 F 和一定直线 l 距离相等的点的集合是抛物线，定点 F 不在定直线上，否则点的轨迹是过点 F 垂直于直线 l 的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．求抛物线的焦点坐标和准线方程[例 1] 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向．(1)y＝x2；(2)x＝ay2(a≠0)．[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p.再写出焦点坐标和准线方程．[精解详析] (1)抛物线 y＝x2的标准形式为 x2＝4y，∴p＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是 y＝－1.抛物线开口向...