三、一阶线性方程方程称为一阶线性方程。当时，式（ 1 - 53 ）称为线性齐次方程；当时，式（ 1 - 53 ）称为线性非齐次方程。线性齐次方程是一个变量可分离的方程。经分离变量并积分，即得通解为解非齐次方程（ 1-5-3 ) ，可作变换，代入方程得整理得积分得于是得方程（ 1-5-3 ）的通解例题1．求方程的通解。【解 】 利用一阶线性方程的通解公式（ 1-5-4 ）来求解，为此，把所给方程写成标准形式这里代入公式（ 15 - 4 ) ，得2．已知微分方程的一个特解为，则此微分方程的通解是【解 】 原方程对应的齐次方程的通解为根据线性方程解的结构可知原微分方程的通解为故应选（ C ）。全微分方程几种可降阶的方程这类方程可直接积分，积分一次得即把原方程降低一阶。积分 n 次，即可得通解这是不显含 y 的二阶方程，令，则，代人即得这样就把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，则原方程的通解为这是不显含 x 的二阶方程，令，则代人方程得即把二阶方程降为一阶方程。设求得此一阶方程的通解为，即，分离变量并积分得原方程的通解为（四）例题1．求方程的通解。【 解 】 这是不显含 y 的方程，令令，则，代人方程，得一阶线性方程利用通解公式（ 1-5-4 ) ,有积分得2．求微分方程满足初始条件的解。【 解 】这是不显含 x 的方程。令，则，代入方程得积分得由 y = 1 时 p = 2 ，得 Cl = 0 ，且知负号不合，故积分得由得 C2 = 4 ，于是所求特解为
