§5 三重积分教学目的 掌握三重积分的定义和性质．教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换．基本要求 掌握三重积分的定义和性质,熟练掌握化三重积分为累次积分,及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法．教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．（2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．一、三重积分的概念背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限"的步骤,利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采纳类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．定义 1 设是定义在三维空间可求体积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数,总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有，则 称在上 可 积 ， 数称 为 函 数在上的三重积分,记作=，其中称为三重积分的被积函数，称为积分变量，称为积分区域．可积函数类（ⅰ)有界闭区域上的连续函数必可积。（ⅱ）有界闭区域上的有界函数的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则必在上可积.二、化三重积分为累次积分定理 21。15 若函数在长方体=上的三重积分存在，且对任何，二重积分=存在，其中=，则积分也存在，且=。 (1）为了方便有时也可采纳其他的计算顺序．若简单区域由集合所确定，在平面上的投影区域为=是一个型区域，设在上连续，,在上连续,，上连续，则==，其他简单区域类似．一般区域上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．例1计算,其中为由平面，所围的区域。例 2 求，其中为.例 3 改变下列累次积分顺序三、三重积分换元法设变换：，，把空间中的区域一对一地映成空间中的区域，并设函数，，及它的偏导数在区域内连续且行列式=0 ， ，则=,（4）其中在上可积．（一）、柱面坐标变换：如下图所示变换：，==,按（4)式=，这里为在柱面坐标变换下的原象．在柱面坐标中：=常数,是以轴为中心轴的圆柱面； =常数，是过轴的半平面； =常数，是垂直于轴的平面．若在平面上的投影区域,即=时=，其中二重积分部分应用极坐标计算．例 4 计算，其中是由曲面与为界面的区域．例 5 计算由和抛物面围成。例 6 计算由和围成。(二）、球坐标变换变换：,==，变换公式为：=在...
