2.1 指数函数课堂探究探究一 根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂是同一个问题的两种不同表示形式，但用分数指数幂表示运算时更方便．因此，在很多情况下，需要对根式与分数指数幂进行互化．(1) 分 数 指 数 幂 与 根 式 可 以 相 互 转 化 ， 其 化 简 的 依 据 是 公 式 ：＝(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．(2)当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．(3)化简过程中要明确字母的范围，以免出错．【典型例题 1】 将下列根式化为分数指数幂的形式．(1) (a>0)；(2) ；(3)( ) (b>0)．解：(1)原式＝＝＝＝(2)原式＝＝＝＝＝＝.(3)原式＝＝＝.探究二 分数指数幂的运算当一个式子中既含有根式又含有分数指数幂时，通常，我们需要对其化简，这时一般先统一化为分数指数幂，运用幂的运算性质进行运算．对分数指数幂进行化简时，常将负指数幂化为正指数幂，带分数化为假分数．【典型例题 2】 (1)计算：－＋＋16－0.75＋；(2)化简：÷ (a>0)．解：(1)原式＝－1＋(－2)－4＋＋＝0.4－1－1＋＋＋0.1＝.(2)原式＝[·]÷[·]＝＝a0＝1.温馨提示 此类题目的运算结果，可以是根式也可以是分数指数幂，但不能两者混合，也不能既含有分母又含有负指数．探究三 条件求值已知某些代数式的值，求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型．解答这类题目，可先分析条件式与所求式的区别与联系，有时通过化简变形把已知条件整体代入，有时需根据已知条件求出某字母的值再代入．【典型例题 3】 已知＋＝，求下列各式的值：(1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3)a2－a－2.思路分析：解答本题可从整体上寻求各式与条件＋＝的联系，进而整体代入求值．解：(1)将＋＝的两边平方，得 a＋a－1＋2＝5，即 a＋a－1＝3.(2)由 a＋a－1＝3，两边平方，得 a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.(3)设 y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45.∴y＝±3，即 a2－a－2＝±3.方法总结整体代换是解答这类问题的重要方法，另外还要注意隐含条件的挖掘与应用．探究四 易错辨析易错点 忽略有意义的条件导致计算出错【典型例题 4】 化简：错解：＝ ＝(1－a)(a－1)－1＝错因分析：错解中忽略了题中有意义的条件，若有意义，则－a≥0，故a≤0，这样＝(1－a)－1.正解：由有意义，可知－a≥0，故 a≤0，所以＝ ＝(1－a)(1－a)－1＝.
