高中数学 第二章 参数方程 2.1 曲线的参数方程学案 新人教B版选修4-4-新人教B版高二选修4-4数学学案

2.1 曲线的参数方程[读教材·填要点]定义：设在平面上取定了一个直角坐标系 xOy，把坐标 x，y 表示为第三个变量 t 的函数a≤t≤b①如果对于 t 的每一个值(a≤t≤b)① 式所确定的点 M(x，y)都在一条曲线上；而这条曲线上的任一点 M(x，y)，都可由 t 的某个值 通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中变量 t 称为参数．如果从参数方程中消去参数 t ，就得到联系 x 和 y 的方程 F(x，y)＝0，则方程 F ( x ， y ) ＝ 0 是这条曲线的直角坐标方程(即普通方程)．[小问题·大思维]1．参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数 x，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如和(m∈R) 都表示直线 x＝2y＋1.将参数方程化为普通方程[例 1] 指出下列参数方程表示什么曲线：(1)(t 为参数)(2)(t 为参数)(3)(t 为参数)[思路点拨] 本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出 t，代入另一个方程．[精解详析] (1)(x－1)2＋(y＋2)2＝16cos2t＋16sin2t＝16，即(x－1)2＋(y＋2)2＝16，表示以(1，－2)为圆心，半径为 4 的圆．(2)2＋2＝cos2t＋sin2t＝1，即＋＝1，表示中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆．(3)x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即 y2－x2＝4.又 2t>0，y≥2 ＝2，故 y2－x2＝4(y≥2)，它表示双曲线的上支．(1)将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：① 代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．1② 利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程如果 t 是常数，θ 是参数，那么可以利用公式 sin2θ＋cos2θ＝1 消参；如果 θ 是常数，t 是参数，那么可以利用(t＋)2－(t－)2＝4 消参．(2)一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．1．已知曲线的参数方程为 0≤θ≤2π.把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线．解：由 x＝sin θ＋1，y＝cos θ＋3 可得 sin θ＝x－1，cos θ＝y－3.由 sin2θ＋cos2θ＝1 得(x－1)2＋(y－3)2＝1，∴曲线的普通方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，它...