2．2.2 圆的参数方程[读教材·填要点]如图，质点以匀角速度 ω 做圆周运动，圆心在原点，半径为 R，记 t 为时间，运动开始时t＝0，质点位于点 A 处，在时刻 t，质点位于点 M(x，y)处，θ＝ωt，θ 为 Ox 轴正向 到向径OM�所成的角，则圆的参数方程为(t≥0)，也可写成(0≤θ≤2π)．若圆心在点 M0(x0，y0)处，半径为 R，则圆的参数方程为(0≤θ≤2π)．[小问题·大思维]1．方程(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方程为 x2＋y2＝R2，即 2＋2＝1.令则2．参数方程(0≤θ≤π)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为 2 的圆的上半部分即半圆(包括端点)．求圆的参数方程[例 1] 点 M 在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到 OM 形成的角为 φ.以 φ 为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M(x，y)的坐标与 φ 之间的关系，然后写出参数方程．[精解详析] 如图，设圆心为 O′，连接 O′M.① 当 M 在 x 轴上方时，∠MO′x＝2φ.∴1② 当 M 在 x 轴下方时，∠MO′x＝2φ，∴即③ 当 M 在 x 轴上时，对应 φ＝0 或 φ＝±.综上得圆的参数方程为－≤φ≤.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成 φ 的意义就改变了．1．设 y＝tx(t 为参数)，则圆 x2＋y2－4y＝0 的参数方程是________．解析：把 y＝tx 代入 x2＋y2－4y＝0，得 x＝，y＝，∴参数方程为答案：圆的参数方程的应用[例 2] (福建高考)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数)，圆 C 的参数方程为(θ 为参数)．(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．[思路点拨] (1)化参数方程为普通方程．(2)利用圆心到直线的距离 d≤4 可求．[精解详析] (1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，...
